一、什么是頻域

從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當(dāng)然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。

你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。

二、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)的頻譜

還是舉個栗子并且有圖有真相才好理解。

如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：

**幅圖是一個郁悶的正弦波 cos（x）

**幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個**的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們*終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？

（只要努力，彎的都能掰直！）

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到*高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的**個難點，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：

在這幾幅圖中，*前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。

好了，關(guān)鍵的地方來了??！

如果我們把**個頻率*低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的*基本單元。

對于我們*常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。

（好吧，數(shù)學(xué)稱法為——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）

時域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波 cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。

正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓

想看動圖的同學(xué)請戳這里：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

以及這里：

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

點出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：

這是什么奇怪的東西？

這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——

再清楚一點：

可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項的振幅都是0，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。

動圖請戳：

File:Fourier series and transform.gif

老實說，在我學(xué)傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。

但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。

三、傅里葉級數(shù)（Fourier Series）的相位譜

上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。

在這一章*開始，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個分割線。

說一個更重要，但是稍微復(fù)雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。

傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。

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下面我們繼續(xù)說相位譜：

通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側(cè)面看的頻譜，但是這個頻譜并沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個對應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那么這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。

鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸*近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當(dāng)然，這些粉色的點只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。

這里需要糾正一個概念：時間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對于周期方波的傅里葉級數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。

*后來一張大集合：

四、傅里葉變換（Fourier Tranformation）

相信通過前面三章，大家對頻域以及傅里葉級數(shù)都有了一個全新的認識。但是文章在一開始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說過，這個栗子是一個公式錯誤，但是概念典型的例子。

是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號變換為周期離散信號呢？抱歉，真沒有。

比如傅里葉級數(shù)，在時域是一個周期且連續(xù)的函數(shù)，而在頻域是一個非周期離散的函數(shù)。這句話比較繞嘴，實在看著費事可以干脆回憶**章的圖片。

而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個時域非周期的連續(xù)信號，轉(zhuǎn)換為一個在頻域非周期的連續(xù)信號。

算了，還是上一張圖方便大家理解吧：

或者我們也可以換一個角度理解：傅里葉變換實際上是對一個周期無限大的函數(shù)進行傅里葉變換。

所以說，鋼琴譜其實并非一個連續(xù)的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出**個來了。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

你見過大海么？

為了方便大家對比，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅里葉級數(shù)中用到*多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。

以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續(xù)……

直到變得像波濤起伏的大海：

不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。