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圖1

1．梨形測頭曲面的數(shù)學(xué)模型

　　測量過程對梨形測頭曲面有兩點(diǎn)基本要求：（1）在測量范圍內(nèi)，任意兩點(diǎn)之間的直線長度應(yīng)有與之對應(yīng)的一段弧長；（2）被測長度在曲面與被測平面的切點(diǎn)的法線上。由此可以判斷，梨形曲面應(yīng)是一段漸開線的旋轉(zhuǎn)面，漸開線的基圓圓心在測桿的轉(zhuǎn)軸上，基圓半徑為測桿的理論長度，而測桿理論長度則應(yīng)在消除了原測桿正弦機(jī)構(gòu)理論誤差的情況下重新計(jì)算出來。
　　梨形測頭在基圓以內(nèi)的部分仍然采用球面，其半徑為S_r，但該球面應(yīng)與漸開線旋轉(zhuǎn)面吻合連接。
　?。?font face="Times New Roman">1）基圓半徑R_d（即測桿長度）的計(jì)算
　　杠桿表測頭在圖2所示位置時(shí)，有

S＝αR／sinα＝c／sin（β－α）          （1）
β＝arcsin［（c／b)sin（S／R_d）］＋S／R_dd
b

式中　S——杠桿表量程
　　　α——測桿轉(zhuǎn)過的弧度
　　　β——扇形齒輪轉(zhuǎn)過的弧度

圖2

　　由圖2所示傳動(dòng)關(guān)系β／2π＝Z₁／Z_f，Z₁／Z_x＝Z₂／Z_e可得

Z₁＝βZ／2π
Z₂＝βZ／2πZ_xfZ_ef

式中　Z_f——扇形齒輪齒數(shù)
　　　Z_x——軸齒輪齒數(shù)
　　　Z_e——端面齒輪齒數(shù)
　　　Z_n——指針軸齒輪齒數(shù)
　　　Z₁——Z_f與Z_x嚙合的齒數(shù)
　　　Z₂——Z_e與Z_n嚙合的齒數(shù)
若杠桿表指針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為rad，則有

rad＝2πZ₂／Z_n＝βZ／Z_xZ_nfZ_e

令rad＝2π，則有

β＝2πZ_xZ_n／Z_fZ_e

將上式與（1）式比較可得

　　arcsin［（c／b）sin（S／R_d）］＋S／R_d＝2πZ_xZ_n／Z_fZ_e
或?。?em>c／b）sin（S／R_d）－sin［（2πZ_xZ_n／Z_fｓ_e）－（S／R_d）］＝0      （2）

　　由（2）式即可求解出R_d
　　用牛頓法求解R_d的Qbasic程序?yàn)椋?br />　　10　INPUT　b，c，S
　　20　LET　Rd＝16
　　30　LET　Bita＝ANT（1）?8?Zx?Zn／Zf／Ze
　　40　LET　Y＝c／b?SIN（S／Rd）－SIN（Bita－S／Rd）
　　50　LET　Yd＝S／Rd＾2?（COS（Bita－S／Rd）－c／b?COS（S／Rd））
　　60　LET　Rd＝Rd－Y／Yd
　　70　IF　ABS（－Y／Yd／Rd）＝0．00001　THEN　90
　　80　GOTO　30
　　90　PRINT　“Rd＝”；Rd
　　100　END
　?。?font face="Times New Roman">2）極坐標(biāo)方程的建立
　　如圖3所示，首先計(jì)算梨形曲面漸開線的起始角A。。

圖3

θ＝arctg（S_r／R_d）
　　A＝（π／2）－θ＝（π／2）－arctg（S_r／R_d）

　　梨形曲面的極坐標(biāo)方程為

ρ＝R_d／cost
invt＝tgt－ｓ

式中　ρ——極徑
　　　t——壓力角（rad）
　　　invt——展開角（極角）
　　（3）球面半徑S_r的計(jì)算
　　如圖1所示，如果設(shè)定允許測桿偏離軸線的角度為t₀，則

θ₀＝tgt₀－t₀
S_r＝R_dtgθ₀＝R_dtg（tgt₀－t₀）

　　注意：測頭根部半徑為S_r的球面的球心高于基圓。

2．漸開線型面坐標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算

　　漸開線型面的直角坐標(biāo)方程為

求漸開線型面坐標(biāo)點(diǎn)的Qbasic程序如下：
　　10　INPUT　Rd，Sr
　　20　LET　A＝ATN（1）?2－ATN（Sr／Rd）
　　30　PRINT　“t”，“x”，“y”
　　40　FOR　t＝0　TO　1　STEP　0．01
　　50　LET　p＝Rd／COS（t）
　　60　LET　INVt＝TAN（t）－t
　　70　LET　x＝p?COS（INVt＋A）
　　80　LET　y＝p?SIN（INVt＋A）
　　90　PRINT　t，x，y
　　100　IF　x＝0　THEN　120
　　110　NEXT　t
　　120　END
　　利用此程序求梨形測頭頂點(diǎn)的方法如下：運(yùn)行一次程序后，用倒數(shù)**個(gè)t值代替第40語句中“＝”號后的數(shù)，并把“STEP”后的數(shù)乘以0．01。如此反復(fù)操作，直至y值在萬分位之前不發(fā)生變化為止。這一y值就是頂點(diǎn)M（0，Y_max）中的Y_max值。然后用求極值的方法求X_max，計(jì)算公式為

　　令，則

sin（tgt－t＋A）tgt＝cos（tgt－t＋A）

　　從而解出

　　代入（3）式得

　　由此可求出梨形測頭的腰徑為

φ＝2R_darctg（S_r／R_d）＝2R_darctg［tg（tgt_o－t_o）］＝2R_d（tgt_o－t_o）

　　為便于在數(shù)控車床上加工梨形測頭，在程序的40語句中選擇適當(dāng)?shù)?font face="Times New Roman">STEP的值，得到60多個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，并將含有X_max的N點(diǎn)和含有Y_max的M點(diǎn)納入其中，在設(shè)計(jì)圖上制成表示坐標(biāo)點(diǎn)的表格。*后在視圖上標(biāo)出與梨形測頭的頂點(diǎn)、腰徑和漸開線基圓等有關(guān)的其它尺寸。